Logika Matematika

1.      Proposisi

(Ady Daryanto,2010) Sebuah proposisi (proposition) atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif (pernyataan) yang memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu:”Benar”(B) atau ”Salah”(S). NILAI KEBENARAN suatu pernyataan didasarkan pada fakta ilmiah atau kesepakatan umum. Suatu proposisi adalah sebuah variabel logika p, q, r, ... atau sebuah ungkapan yang dibangun dari variabel-variabel ini dan hubungan dengan logika (Ù, Ú, ~).

Contoh soal:

1)                  Jakarta adalah ibukota negara Republik Indonesia.

2)                 Ponorogo terletak di propinsi Jawa Tengah.

3)                 1 + 2 = 3

4)                 2 + 2 = 5

5)                  Jam berapakah sekarang?

6)                 Silahkan masuk ke ruangan!

7)                   x + 2 = 3

Jawaban:
No. 1 dan 3 proposisi bernilai benar (T)
No. 2 dan 4 proposisi bernilai salah (F)
No. 5 dan 6 bukan proposisi karena pertanyaan dan permintaan.
No. 7, bila x=1 maka proposisi benar, tp bila x=2 maka proposisi salah. Kebenarannya tidak pasti maka ia bukan proposisi tetapi fungsi proposisi.

2.     Operator Logika dan Tabel Kebenaran

Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 penghubung, yaitu:
1. Negasi
2. Disjungsi

3. Konjungsi
4. Implikasi
5. Biimplikasi

            Berikut tabel kebenaran beserta operasinya.

a.      Negasi (Ingkaran)

Negasi merupakan bentuk operasi dimana statement yang ada akan dibalik nilai kebenarannya. Dimuat dalam tabel dengan operasi sebagai berikut.

P	~P
B	S
S	B

Tabel 2.1 Tabel kebenaran negasi

Negasi memiliki simbol ( ~ ). Jadi ketika suatu statement memiliki suatu nilai misal B (Benar) lalu kita negasi kan, maka statement tersebut akan berubah menjadi nilai S (Salah).

b.      Disjungsi

Disjungsi merupakan suatu bentuk operasi pada dua buah kalimat atau statement yang jika digabungkan dengan kata atau ( V ) maka akan menghasilkan statement baru yang memiliki nilai kebenaran yang baru. Berikut tabel kebenarannya:

p	q	pvq
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Tabel 2.2 Tabel kebenaran disjungsi

Simbol pada disjungsi adalah ( V ). Kalimat pertama akan digabungkan dengan kalimat kedua dengan menggunakan kata atau lalu menghasilkan nilai kebenaran baru. Agar mudah mengingatnya, pada disjungsi, nilai p V q akan bernilai salah ketika p adalah salah dan q adalah salah. Selebihnya, nilai p V q bernilai benar.

c.      Konjungsi

Konjungsi merupakan suatu bentuk operasi pada dua buah kalimat atau statement yang jika digabungkan dengan kata dan (^) maka akan menghasilkan statement baru yang memiliki nilai kebenaran yang baru. Berikut tabel kebenarannya:

p	q	p^q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Tabel 2.3 Tabel kebenaran konjungsi

Simbol pada konjungsi adalah (^). Kalimat pertama akan digabungkan dengan kalimat kedua dengan menggunakan kata dan lalu menghasilkan nilai kebenaran baru. Agar mudah mengingatnya, pada konjungsi , nilai p V q akan bernilai benar ketika p adalah salah dan q adalah benar. Selebihnya, nilai p V q bernilai salah.

d.     Implikasi

Implikasi merupakan bentuk operasi dua buah kalimat yang jika digabung akan menghasilkan kalimat baru dengan nilai yang baru. Untuk kondisional, menggunakan kalimat penghubung jika, maka. Berikut tabel kebenarannya:

p	q	p->q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Tabel 2.4 Tabel kebenaran implikasi

e.      Biimplikasi

Biimplikasi adalah bentuk operasi dua buah kalimat yang jika dihubungkan akan membentuk kalimat baru dengan nilai yang 12 baru. Biimplikasi menggunakan kalimat penghubung jika dan hanya jika. Perhatikan tabel kebenaran berikut:

p	q	P<->q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Tabel 2.5 Tabel kebenaran biimplikasi

Simbol yang digunakan adalah ( ↔ ) tanda panah dua arah. Kalimat digabungkan dengan kata jika dan hanya jika.

3.     Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

            (Putu Darmayasa, 2016) Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai BENAR untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.

            Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai SALAH untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.

            Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang tidak selalu bernilai BENAR dan tidak selalu bernilai SALAH (bukan Tautologi dan bukan Kontradiksi) untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya. Artinya dalam kontingensi, nilai kebenarannya sekaligus memuat BENAR dan SALAH.

Contoh :

Besok akan turun hujun atau tidak turun hujan =  tautologi

2 adalah bilangan genap dan bilangan ganjil = kontradiksi

a.      Contoh Tautologi:

Buktikan bahwa proposisi p v ~ (p ^q) adalah sebuah tautologi. Buatlah tabel kebenarannya!

Jawab:

p	q	P^q	~(p^q)	p v~(p^q)
B	B	B	S	B
B	S	S	B	B
S	B	S	B	B
S	S	S	B	B

Karena nilai kebenaran dari p v ~ (p^q) adalah B (Benar) untuk semua nilai p dan q maka proposisi adalah sebuah Tautologi.

b.      Contoh Kontradiksi:

Buktikan bahwa proposisi (p^q) ^ ~ (pvq) adalah sebuah Kontradiksi.

Jawab:

Tabel Kebenaran

p	q	p^q	pvq	~(pvq)	(p^q) ^~(pvq)
B	B	B	B	S	S
B	S	S	B	S	S
S	B	S	B	S	S
S	S	S	S	B	S

Karena nilai kebenaran dari (pÙq) Ù ~ (pÚq) adalah S (salah) untuk semua nilai p dan q maka proposisi adalah sebuah kontradiksi.

c.      Contoh Kontingensi:

Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk (p ->q) ^ p adalah kontingensi!

Jawab:

Tabel Kebenaran

p	q	~p	P->q	(p->q)^p
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	S	S
S	S	B	S	S

Nilai kebenaran dari pernyataan (p->q) ^ p adalah BSSS (tidak semuanya BENAR dan tidak semuanya SALAH), sehingga pernyataan (p->q) ^p adalah kontingensi.

4.    Ekivalensi

(Nurmala Yaya, 2016) Ekivalensi adalah dua pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang sama.

Contoh Ekivalensi:

p ^ q Ekivalensi q^p

Jawab:

Tabel Kebenaran

p	q	p^q	q^p
B	B	B	B
B	S	S	S
S	B	S	S
S	S	S	S

Nilai dua pernyataan diatas memiliki nilai kebenaran yang sama BSSS, sehingga disebut Ekivalensi.

TI Politala Matdis 1A